دو رقیب آشتی ناپذیر

منازعات نیوتن و لایب نیتس در سده ی هفدهم

نخست نیوتن، در فاصله ی سال های 1665 تا 1666، و پس از آن گوتفرید ویلهلم لایب نیتس، در فاصله ی سال های 1672 تا 1676، هر یک جداگانه و بدون آگاهی از کار یکدیگر به ساماندهی حسابان پرداختند. پیشینیان این دو اَبَر هوشمند با قاعده هایی سروکار داشتند که هر چند راهکارهایی هوشمندانه به شمار می آمدند، دامنه ی کاربردهای آن ها محدود بود. به عنوان نمونه، کاربرد بسیاری از قاعده ها تنها در زمینه ی چند جمله ای ها بود و این که بتوان مسئله ای را با تبدیلی ساده به صورت چند جمله ای نمایش داد. در 1637 دکارت امیدوار شده بود که هندسه می تواند منحصر به مطالعه ی منحنی های جبری [=منحنی های با معادله ی جبری] باشد. اما درخشش خارج از انتظار منحنی های چرخزاد (1)، زنجیره (2) و نمودارهای تابع های مثلثاتی و لگاریتمی در سال های پس از سده ی هفدهم، آرایه ای با گستره ای فزاینده از مسئله ها را پیش آورد و گستردگی بیشتر و قدر و مرتبه ی والاتر ریاضیات را نمایان تر ساخت. قاعده هایی که کاوالیری، فرما، والیس، و بارو در زمینه ی کار با نماها به دست داده بودند، تا وقتی معتبر بودند که سروکار با تابع های متعالی (3) پیش نیامده بود؛ در سال های دهه ی از 1666 تا 1676، ریاضیات با تنگناهایی روبرو شده بود و نیازی مبرم به الگوریتمی عمومی داشت که بتواند در تابع های از هر گونه ای، چه گویا و چه گنگ، چه جبری و چه متعالی، به کار رود. نیوتن و لایب نیتس با فراهم آوردن آنالیزی نو، عمومی و نامتناهی، این نیاز را برآورده ساختند.
دستیابی نیوتن و لایب نیتس به این آنالیز نو، پیامد پیگیری های آن ها در شناخت ویژگی ها و انبوه کاربردهای بسط سری های نامتناهی (4) بود. دستیابی به این شناخت با چنان اهمیتی نزد نیوتن جلوه کرده بود که با پافشاری و اطمینان کامل آن را جزء بنیادی آنالیز نو می دانست و نیز دلیل این که بارها قضیه ی دو جمله ای را به او نسبت داده اند. این قضیه را برای توان های صحیح و همچنین قاعده ی توالی جمله های آن را از مدت ها پیش می شناخته اند. (5) اما نیوتن این قضیه را تعمیم داد و نخستین کسی است که آن را برای نماهای کسری هم به کار برد و نشان داد که بسط آن در این حالت پایان ندارد.
پیشینیانِ نیوتن در به دست آوردن مساحت سطح زیرمنحنی هایی درمانده بودند. نمونه اش، انتگرال بود که والیس در دستیابی به آن راه به جایی نبرده بود. نیوتن از راه به کار بردن بسط بی پایان یک دو جمله ای این مساحت را به دست آورد. نیوتن همین روش را برای به دست آوردن انتگرال های تابع های متعالی نیز به کار برد (او به جای اصطلاح انتگرال اصطلاح «فلوئنت» (6) را به کار می برد.) از مدت ها پیش دریافته بودند که مساحت سطح زیر منحنی هذلولی،

بستگی نزدیکی با لگاریتم دارد، زیرا طول های نقطه های منحنی به تصاعد هندسی و مساحت زیر منحنی به تصاعد حسابی افزایش می یابد. نیوتن دریافت که می توان تابع لگاریتمی را به صورت یک سری نامتناهی نوشت. برای این کار، نخست بسط را به دست آورد. روش ساده ی این بسط انجام دادن عمل تقسیم 1 بر به ترتیب صعودی توان های x است و به دست می آید: و روش دیگر آن به کار بردن قضیه ی دو جمله ای برای است. اکنون با به کار بردن قاعده ی آشنای کوادراتور، یعنی در هر جمله یک را به نما افزودن و ضریب را بر نمای جدید تقسیم کردن، به دست می آید: که آن را سری مرکاتور (7) می نامند، زیرا نیکولاس مرکاتور نخستین کس است که آن را به نام خودش منتشر کرده است – هر چند که نیوتن پیش تر به آن دست یافته بود.
لایب نیتس هم همانند نیوتن خیلی زود به کارایی و توان مندی سری های بی پایان پی برد و به بهره گیری از آن ها روی آورد. سری را به نام او می شناسند، در صورتی که حالت ویژه ای از سری است که جیمز گریگوری به سال 1668 آن را به نام خودش منتشر کرده است. به نظر می رسد تقریباً هم زمان با آن، نیوتن هم بسط سری هایی را برای تابع های مثلثاتی به دست آورده باشد.
نیوتن نخستین اثرش در زمینه ی حسابان (8) را در سال 1669 فراهم آورد، اما از آن رو که گمان می برد بحث و جدلی ناخوشایندش را پیش آورد از انتشار آن تا 1711 خودداری کرد. او در این کتاب قصد و معنی جامعی را که از به کار بردن واژه ی «آنالیز» داشته است چنین شرح می دهد:
و هر آنچه آنالیز متعارف به کمک معادله های با جمله هایی به تعداد محدود انجام می دهد ... این روش جدید هم در هر حال می تواند همان را به کمک معادله های با جمله های به تعداد نامتناهی به انجام برساند؛ از این رو و بدون آن که تردیدی را به خود راه دهم همان نام آنالیز را برای آن برگزیدم. زیرا در هیچ یک از دو روش نه اعتبار استدلال ها و نه دقت معادله ها کم تر از دیگری نیست... نتیجه ی نهایی آن که ما می توانیم وابستگی به هنر تجزیه و تحلیل را بدون هیچ ایرادی معتبر به شمار آوریم اگر به کمک مساحت ها، طول ها، وابسته هایی دیگر، از خم هایی انجام گرفته باشد که مشخص کردن آن ها به گونه ی دقیق و به شیوه ی هندسی (8) ممکن باشد.
نیوتن با این استدلال این دیدگاه را بیان می کند که روند کار الگوریتم های ریاضی در فرایندهای نامتناهی درست به همان گونه ی روند کار آن ها در جبر معمولی است. اگر بنا باشد مخترع حسابان به این مفهوم را انتخاب کنیم، نیوتن تنها گزینه است. سهم و مشارکت نیوتن در پیشبرد این حسابان این نبوده است که قاعده ای را برای مشتق گیری یا برای انتگرال گیری به دست دهد یا این که معکوس بودن این دو عمل را نسبت به هم بازگو کند؛ آنچه که او آن را نمایان ساخته این است که این ها همه جزء هایی از یک آنالیز نوین هستند – کاربرد فرایندهای نامتناهی در بررسی عمومی تابع های از هر گونه.
لایب نیتس نیز، دیرتر از نیوتن و مستقل از او، بر پایه ی آنالیزی نو و عمومی که آن را به سال 1676 اعلام کرد به اختراع حسابان از همان گونه دست یافت. او در مقاله هایی که در این زمینه در سال های 1684 و 1686 در مجله ی ریاضی نشریه ی فرهیختگان (9) به چاپ رساند روش جدید خود را، با این ویژگی که در مقابله ی با تابع های گنگ و متعالی هم کارایی خود را از دست نمی دهد، شرح و بسط داد.
... بنابراین، همان گونه که پیش از این، جبردان ها پذیرفته اند حرف ها یا عددهای معمولی را به جای مقدارهای مورد نظر به کار ببرند، من هم پذیرفته ام در سر و کار داشتن با مسئله های شامل مقدارهای متعالی، معادله های معمولی و یا معادله های نامعین [=بسط سری های نامتناهی] را به جای خط های [=تابع های] مورد نظر به کار ببرم ... و از این راه است که حساب تحلیلی [=حسابان]، آن تابع هایی را هم دربر می گیرد که تاکنون تنها به این علت که در خور آن نیستند بر کنار مانده بودند.
دکارت با آگاهی و امید به این که هندسه اش مرحله ای جدید را در گسترش و پیشرفت زمینه ی کار فراهم می آورد آن را از قوه به فعل درآورد. نیوتن و لایب نیتس هم می دانستند نوآوری های آن ها راه را برای روی کار ‌آمدن آنالیزی نو و فراتر از جبر معمولی باز خواهد کرد. اصطلاح های «آنالیز مرتبه ی بالا» (10) و «آنالیز عالی» (11) که سرتاسر سده ی هجدهم به مفهوم وجه تمایز فرایندهای نامتناهی از روش های جبر معمولی به کار می رفتند در واقع نمایان گر تأکیدی بودند بر تشخیص صحیح نیوتن و لایب نیتس و نشانه ی تأییدی بود بر اهمیت وکارایی دستاورد آنان.
نشانه گذاری ها و به کار بردن نمادها در ریاضیات، درک و فهم این دانش رابهتر و آسان تر و گرایش دانش دوستان را به آن بیشتر کرده بود. لایب نیتس هم بر آن شد تا آنالیزی نو را که پدید آورده بود با چنین پیرایه ها بیاراید وآن را بهتر بشناساند. او این اندیشه را به کار بست و اصطلاح ها و نمادهایی را روی کار آورد که تا به امروز هم بر جای مانده اند و همین ارزشمندی اندیشه و کار او را می رساند. نیوتن در انتشار اندیشه هایش و به چا رساندن کتاب هایش همواره دودل بود. در برابر، زیاد یادداشت بر می داشت و دستنوشته های زیاد فراهم می آورد. اما تنها کمی از این دستنوشته ها بر جای مانده است. یک دستنوشته ی او، که تاریخ اکتبر 1666 را دارد، درباره ی روش حل مسئله ها از راه حرکت است؛ به نوشته ی خودش: یافتن چیزی از گونه ی مساحت ها، مماس ها، و گرانیگاه خم ها، به شیوه ای که مختص ها با زمان تغییر می کنند. در این جا، آهنگ های تغییر (12) (=سرعت‌های) دو مختص x و y را به ترتیب با نمادهای p و q به کار می‌برد، اما کمی پس از آن، «حرف های نقطه‌دار» را به جای p و q، و واژه‌ی «فلوکسیون» (13) را به جای «سرعت» به کار می‌برد؛ از این رو آنالیز او با عنوان «روش فلوکسیون‌ها» شناخته می‌شود. نیوتن، بنابر قاعده‌ای از حسابان که در 1666 به کار می‌رفت، شیب منحنی [=شیب مماس بر منحنی] به معادله‌ی

را به ترتیب زیر به دست می آورد: x را با x+po و y را با y+qo جانشین می کند. از معادله ای که به دست می آید معادله ی داده شده را کم می کند، پس از تقسیم حاصل بر o و حذف جمله‌هایی که هنوز عامل o را دارند (از آن رو که o و جمله‌ های شامل آن «بی‌ نهایت کوچک» فرض می شوند) رابطه ی

را به دست می آورد که آن، مقدار شیب که همان نسبت q به p است، برابر با مقدار زیر به دست می‌ آید:

نیوتن در کتاب کوادرتورها (14) که آن را در سال 1676 نوشته بود و سرانجام در سال 1704 چاپ شد، اصطلاح «بی نهایت کوچک» را به کنار نهاد؛ نخست نسبت فلوکسیون های q به p را به دست آورد و آن گاه با از بین بردن o، یعنی با «تباه کردن o»، به نسبتی دست یافت که آن را«نسبت آغازین و فرجامینِ» (15) فلوکسیون ها (=حد نسبت فلوکسیون ها) نامید. این فرایندِ «نزدیک تر شدن» به فرایند نموده شده در دیدگاه جدید می مانست. اما در کتاب اصول (16) که نیوتن در سال 1687 منتشر کرد، حسابان از دیدگاهی نموده شده بود که برگشت به اندیشه هایی را می رساند که او در نخستین مرحله ها در زمینه ی نموّها و ایستایی های بی نهایت کوچک بازگو کرده و فرجام نیافته رها ساخته بود. این نمود تازه از حسابان او خیلی زیاد به حسابان می مانست که لایب نیتس نموده و منتشر کرده بود. همانندی دو دیدگاه می توانست این گمان را به ذهن همعصران آن ها برساند که یکی از دیگری تقلید کرده و باید پوزش بخواهد. نیوتن گزارش هایی ارزشمند را درباره ی روش های به کار برده در حسابان نوشته بود، اما آن ها را خیلی دیر منتشر کرد. در برابر، لایب نیتس کم نوشته بود اما همان ها را خیلی زود به چاپ رسانده بود. او به فراهم آوردن چند نوشتار کوتاه بسنده کرده و پس از آغاز انتشار نشریه ی فرهیختگان آن ها را در آن چاپ کرد. نخستین نوشتارش در 1684 چاپ شد و سه سال پس از آن بود که نیوتن با نوشته ای کوتاه در کتاب اصول از آن نام برد. در نخستین نوشتارِ لایب نیتس روش های ساده ی مشتق گیری به گونه ای نارسا و به شیوه ای بیان شده بود که مقدارهای بی نهایت کوچک نیوتن را تداعی می کرد. لایب نیتس برای به دست آوردن دیفرانسیل حاصل ضرب xy، تغییر بی نهایت کوچک متغیرهای x و y را به ترتیب با dx (=دیفرانسیل x) و dy (=دیفرانسیل y) نشان می‌دهد، x را با x+dx و y را با y+dy جانشین می کند و تفاوت

را به دست می آورد و جمله ی را که بی نهایت کوچک غیرقابل قیاس با سایر جمله هاست نادیده می گیرد و سرانجام به رابطه ی می رسد و بر پایه ی این فرمول، فرمول های مربوط به دیفرانسیل توان صحیح یک متغیر، دیفرانسیل عکس یک متغیر و دیفرانسیل خارج قسمت دو متغیر را به سادگی به دست می آورد؛ چنان که را به صورت حاصل ضریب در نظر می گیرد و دیفرانسیل آن را برابر با xdx2 می یابد. اگر دو طرف فرمولی که لایب نیتس برای دیفرانسیل xy به دست آورده بود بر dx تقسیم می شد فرمول امروزی مشتق xy بنابر آن که y تابعی از x باشد به دست می آمد: اما لایب نیتس به مفهوم های متغیر وابسته (17) و متغیر مستقل (18) و به مفهوم مشتق یک متغیر بر حسب متغیر دیگر توجه نداشته است. از این رو در استدلال لایب نیتس ضعف دقت به چشم می خورد و همعصران او با وجود ستایش از کار او و با ارزش و با اهمیت دانستن روش جدید، آن را مورد انتقاد هم قرار دادند.

پی نوشت ها :

1- .cycloid
2- .catenary
3- .transcendental functions
4- infinite – series.
5- نزد ریاضیدانان ایرانی دوره های گذشته هم موضوعی آشنا بوده است. – م.
6- fluent.
7- The series of Mercator .
8- .De analysi per aequationes numero terminorum infinitas
9- با به کار بستن استدلال هندسی – م.
10- Acta eruditorum.
11- higher analysis.
12- sublime analysis.
13- rates of change.
14- .fluxion
15- De quaratura.
16- prime and ultimate ratio.
17- Principia.
18- dependent variable.
19- independent variable.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..